Pre-Service Classroom Teachers' Proof Schemes in Geometry: A Case Study of Three Pre-service Teachers

Abstract

Problem Durumu: Matematiğin önemli bir parçası olan geometri, okullarda ve günlük yaşamda önemli bir yer edinmiştir. Geometri eğitimine verilen öneme rağmen, birçok kişi geometri karşısında çaresiz kalmakta, buna bağlı olarak da başarısızlık göstermektedir. Matematiği ezberlenmesi gereken kurallar bütünü olarak gören öğrenciler, matematikten kaçmaktadırlar. Buda onların matematik derslerinde başarısı gösterememesinin nedenlerinden birini oluşturmaktadır. Hâlbuki matematik belli bir mantık içinde gelişmiş, kavramların bir biri ile uyum içinde olduğu bir disiplindir. Matematiğin bu uyumlu mantıksal ilişkisini anlamanın yolu, kuralları ezberlemeden ziyade, kavramların nasıl geliştiğini görmekten geçmektedir. Bunun anlamanın yolu ise onları elde ederken yapılan ispatları incelemekten geçmektedir. Nasıl kalp insana hayat verirse, ispatlarda matematiğe hayat vermektedirler. Fakat ispatlar karmaşık gözüktüğünden, birçok öğretmen tarafından derslerde pek kullanılmamaktadır. Oysaki eğitimin ilk yıllarından itibaren, öğrencilerde bu becerinin gelişmesi için öğretmenlerin derslerde ispata yer vermeleri gerekmektedir. Bu açıdan bakıldığında öğretmenlerin derslerde ispat kullanımına yönelik görüşleri ve ispat yaparken ki süreçlerinin incelenmesi önem arz etmektedir. Araştırmanın Amacı: Bu çalışmanın amacı öğretmen adaylarının geometrik bir teoremi ispatlarken, kullandıkları ispat şemalarını, ispat yaparken karşılaştıkları zorlukları ve derslerde ispat kullanımına yönelik görüşlerini belirlemektir. Araştırmanın Yöntemi: Araştırmada nitel araştırma desenlerinden durum çalışması kullanılmıştır. Çünkü bir konuda derinlemesine bilgi edinmek istenildiğinde durum çalışmasının kullanılması uygundur. Çalışmanın örneklemini, seçkisiz desenlerden amaçlı örnekleme yöntemine göre belirlenen ikisi kız, diğeri erkek üç öğretmen adayı oluşturmaktadır. Çalışmada ilk önce öğretmen adaylardan bir üçgenin iç açıları ölçüleri toplamının 1800 olduğunu göstermeleri istenmiştir. Daha sonra yaptıkları ispata ve derslerde ispat kullanımına yönelik yaklaşık otuz dakika süren yarı yapılandırılmış görüşmeler yapılmıştır. Yapılan görüşmeler analiz edilmek üzere kayıt altına alınmıştır. Öğretmen adaylarının ispat şemalarına belirlemek için, elde edilen veriler her bir araştırmacı tarafından ayrı ayrı incelenmiştir. Sonuç olarak araştırmacıların uyum birliğine vardıkları görülmüştür Araştırmanın Bulguları: Araştırmadan elde edilen verilere göre, öğretmen adayları derslerdeki başarılarını ispat yaparken gösterememişlerdir ve temel geometrik kavramlara yönelik bilgilerinde eksiklikler olduğu görülmüştür. Örneğin Ayşe derste başarılı olmasına rağmen kendisinden istenen ispatı uygun şekilde göstermekte zorlanmıştır. İspatı yaparken ilköğretim yıllarındaki öğretmeninin verdiği örneği temel alarak ispatı yapmaya çalışmıştır. İlk denemesinde başarısız olan Ayşe, ikinci denemesinde ise ispatı özel bir durum üzerinde (ikizkenar dik üçgen için) göstermeye çalışmıştır. Yani genellemeye gidememiştir. Elif orta düzey başarı gösteren bir öğrencidir. İspat yaparken rastgele çizimler yapmaya çalışmıştır. Bu durum Elif'in tam olarak ne yapacağını bilmediğini göstermektedir. Ali derslerde başarılı olmamasına rağmen ispat yaparken iyi bir performans göstermiştir. İşlemleri düzenli bir şekilde yapmıştır. Fakat temel geometrik kavramlara yönelik bilgilerinde eksiklik olduğu görülmüştür. Bu ise Ali'nin tanımları tam olarak öğrenemediğinin göstergesidir. Ayrıca Ali'nin üçgeni oluştururken ışınları kullanması farklı bir bulgudur. Ali bunu daha önceki öğrenmelerine bağlamıştır. Araştırmanın Sonuçları ve Önerileri: Sonuç olarak Ayşe'nin ispatı yaparken bir örnek ile başlaması ve öğretmenin verdiği örneği temel alarak ispatı yapmaya çalışması, onun tümevarımsal ispat şeması yaklaşımında olduğunu göstermektedir. Elif'in rastgele şekiller çizmesi, ne yapacağını tam olarak bilememesi onun sembolik ispat şeması yaklaşımında olduğunu göstermektedir. Ali'nin ispatı daha önceki öğrenmelerine göre yapması onun ritüel ispat şeması yaklaşımda olduğunu göstermektedir. Genel olarak bakıldığında Ayşe deneysel, Elif ve Ali dışsal bir yaklaşım göstermişlerdir. Bununla birlikte Coe ve Ruthven (1994) çalışmalarında birçok öğrencinin deneysel ispat şeması yaklaşımına sahip olduklarını görmüştür. Ayrıca öğretmen adayları derslerde ispat kullanımının yararlı olduğunu düşünmektedirler. Böylece kuralların ezberlenmeyip, mantıksal olarak öğrenileceğini belirtmektedirler. Fakat öğrencilik yıllarında derslerde ispat kullanılmışsa da ilgili olmadıkları görülmektedir. Benzer şekilde Ceo ve Ruthen (1994) çalışmalarında da çok az sayıda öğrencinin kuralların nasıl oluştuğunu öğrenmeye meraklı olduklarını belirtmişlerdir. Matematiğin kalbi olan ispatlar, bir teoremin doğru olup olmadığını anlamaya yarar ve matematiğin gelişmesine öncülük eder. Rav (1999) yaptığı bir analojide ispatları yollar ağına, teoremleri de otobüs durağına benzetmiştir. İspatlar matematiğin temelleri olmasına rağmen, birçok araştırmada öğrencilerin başarısız oldukları görülmüştür. Bunun birçok nedeni vardır. Öğrencilerin ispatı hiç kullanmaması, ne anlama geldiğini bilmemesi bunlardan bir kaçını oluşturmaktadır. Bundan dolayı öğrenciler teoremleri anlamada ve uygulamada yetersiz kalmaktadır. Tall (2004) ise üniversite öğrenimine kadar ispatlar ile ilgilenmemiş öğrencilerin, ispat yapmada zorlandıklarını belirtmiştir. Öğrencilerin başarısızlığın bir diğer nedeni öğretmenlerin ispata yönelik tutumundan olabilir. Çünkü programlar incelendiğinde ispat yapma becerisini geliştirecek şekilde düzenlenmediği görülmektedir (Tall, 1995). Programda ispatlara yeterince yer verilmediğinden dolayı öğrencilerin ispat becerilerinin geliştirilmesinde temel kaynak sınıf öğretmenleridir. Benzer şekilde Martin ve Harel (1989) öğretmen adaylarının ispatlara bakış açısının önemli olduğunu belirtmektedirler. Hersh (1993) ise derslerde sınırlı zamandan dolayı ispat süreçlerinin göz ardı edilmesine neden olduğunu belirtmektedir. Bu çalışmanın sonuçları üç öğretmen adayının ispat şemaları ile sınırlıdır. Bundan dolayı genelleme yapmak mümkün değildir. Bununla birlikte bu çalışmanın sonuçlarına göre, sınıf öğretmeni adaylarının basit bir geometrik teoremi ispatlama da bile zorlandıkları görülmüştür. Öğrencilerin geometrik kavramlardaki eksik bilgileri ve kavram yanılgıları ise göze çarpmaktadır. Öğrencilerin önceki eğitimlerinde ispatlar ile ilgili yeterince tecrübe kazanmamaları ve kavramsal bilgilerin göz ardı edilmesi buna neden olmuş olabilir. Oysaki İspatlar öğrencilerin işlemsel bakış açısından kavramsal bakış açısına geçmelerine yardım eder (Weber, 2001; Jones, 2002). Öğretmen adayları da ispatlamanın bilgiyi elde etmede önemli olduğunu belirtmişlerdir. Sonuç olarak ispat yapabilme matematik eğitiminde geliştirilmesi gereken bir beceridir. Bundan dolayı matematik eğitimi ispatları içermelidir.

Problem Statement: Recent research and evaluation reports show that students are not learning geometry efficiently. One identifier of student understanding related to geometry is teachers' knowledge structures. Understanding what a proof is and writing proofs are essential for success in mathematics. Thus, school mathematics should include proving activities. Proofs are at the heart of mathematics, and proving is complex; teachers should help their students develop these processes in the early grades. The success of this process depends on teachers' views about the essence and forms of proofs. Hence, it is necessary to investigate the classroom teachers' perceptions related to proofs. Purpose of the Study: The purpose of this study is to determine the proof scheme of pre-service teachers when proving a geometry theorem. In this sense, the study is oriented by the research question: which proof schemes do pre-service teachers use when making proofs in geometry? Method: The current case study is a detailed examination of a particular subject. Firstly, an open ended question was asked, and then semistructured interviews were conducted. The three students investigated in this study were selected by considering their Basic Mathematics scores. Two girls having maximum and average scores and a boy having a minimum score voluntarily participated. The students were asked to proof "the sum of the interior angle measurements of a triangle is 180º". After proving this, each student was interviewed about what they think about proofs and proving. Findings: The findings of the study reveal that pre-service classroom teachers have difficulties related to proving. Also, the participants' attitudes are not parallel to their achievements in the lesson. Another result of this study concerns using proofs in teaching and learning processes. When students are asked about their opinions regarding proofs, it is understood that they have the common idea that the lessons should be made with proofs. Conclusion and Recommendations: The results of this study and other studies in the field reveal that pre-service teachers are not able to prove even a simple geometry theorem. What underlies this is that pre-service teachers are thought to have insufficient knowledge about the definitions of geometric concepts as well as the misconceptions concerning the topic. Another reason can be that participants do not experience any proving processes in previous education. Hence, students should realize how valuable proving and acquiring knowledge is through the counsel of a teacher