Lie Ideals of Semiprime Rings with Generalized Derivations

Abstract

Let R be a 2-torsion free semiprime ring, U a noncentral square-closed Lie ideal of R. A map F:R?R is called a generalized derivations if there exists a derivation d:R?R such that F(xy) = F(x)y + xd(y) for all x,y?R. In the present paper, we shall prove that h is commuting map on U if any one of the following holds: i) F(u)u = ±uG(u), ii) [F(u),v] = ±[u,G(v)], iii) F(u)?v = ±u?G(v), iv) [F(u),v] = ±u?G(v), v) F([u,v]) = [F(u),v] + [d(v),u] for all u,v?U, where G:R?R is a generalized derivation associated with the derivation h:R?R.

R, 2-torsion free bir yarıasal halka ve U, R halkasının bir merkez tarafından kapsanılmayan kare-kapalı Lie ideali olsun. Eğer her x,y?R için F(xy) = F(x)y + xd(y), koşulunu sağlayan bir d:R?R türevi varsa F dönüşümüne R halkasının d ile belirlenmiş bir genelleştirilmiş türevi denir. Bu çalışmada, aşağıdaki koşullardan biri sağlanırsa d dönüşümünün U üzerinde komüting dönüşüm olduğu gösterilecektir: i) F(u)u = ±uG(u), ii) [F(u),v] = ±[u,G(v)], iii) F(u)?v = ±u?G(v), iv) [F(u),v] = ±u?G(v), v) F([u,v]) = [F(u),v] + [d(v),u]. Burada G:R?R dönüşümü h:R?R türevi ile belirlenmiş bir genelleştirilmiş türevdir.